Aufgabe.

Es sei $ \mbox{$B=\{ (x,y,z)^\text{t} \in \mathbb{R}^3 \, \vert \, 0 \leq z \leq x^2 + y^2 \leq 2 \}$}$ . Berechne für das Vektorfeld $ \mbox{$f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$}$ definiert durch

$ \mbox{$\displaystyle f(x,y,z)=\begin{pmatrix}xz + \frac{x^3}{3}\\ 2 z e^{xy}\\ zy^2 - \frac{z^2}{2} - xz^2 e^{xy} \end{pmatrix}$}$
das Integral
$ \mbox{$\displaystyle \int_{\partial B} f\; . $}$
Dabei sei der Rand $ \mbox{$\partial B$}$ so parametrisiert, daß der Normalenvektor stets nach außen zeige.