Aufgabe.

Es sei $ \mbox{$B=\{ (x,y,z)^\text{t} \in \mathbb{R}^3 \, \vert \, x^2+y^2 \leq 4, \, 0 \leq z \leq 4 - x^2-y^2 \}$}$ . Berechne für das Vektorfeld $ \mbox{$f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$}$ definiert durch $ \mbox{$f(x,y,z)=(x+y,y+z,x+z)^\text{t}$}$ das Integral

$ \mbox{$\displaystyle \int_{\partial B} f $}$
  1. direkt,
  2. mittels des Gaußschen Integralsatzes.

Dabei sei der Rand $ \mbox{$\partial B$}$ so parametrisiert, daß der Normalenvektor stets nach außen zeige.