Aufgabe.

Gegeben sei das Vektorfeld $ \mbox{$v:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$}$ , $ \mbox{$v(x,y,z)=(-y,x,x+y+z)^\text{t}$}$ .

Bezeichne $ \mbox{$\Phi$}$ eine Fläche, deren Träger durch

$ \mbox{$\displaystyle \{ (x,y,z)^\text{t}\in\mathbb{R}^3\; \vert\; z + x^2 + y^2 = 1\; , z\ge 0\} $}$
gegeben ist.

Bezeichne $ \mbox{$\Psi$}$ eine Fläche, deren Träger durch

$ \mbox{$\displaystyle \{ (x,y,z)^\text{t}\in\mathbb{R}^3\; \vert\; x^2 + y^2 \le 1\; , z = 0\} $}$
gegeben ist.

Skizze des Trägers von $ \mbox{$\Phi$}$ .

\includegraphics[width = 8cm]{p4.eps}

Die Parametrisierung sei dabei so gewählt, daß der zugehörige Normalenvektor jeweils stets nicht nach unten zeige.

Berechne die Oberflächenintegrale $ \mbox{$\int_\Phi \text{rot }v$}$ und $ \mbox{$\int_\Psi \text{rot }v$}$ sowohl direkt als auch mit dem Stokesschen Integralsatz.