Aufgabe.

  1. Sei $ \mbox{$B\subseteq\mathbb{R}^2$}$ ein regulärer Bereich mit positiv orientierter Randkurve $ \mbox{$\gamma:[a,b]\to\mathbb{R}^2$}$ , und es gelte $ \mbox{$\text{vol}(B)>0$}$ .

    Zeige, daß für den Schwerpunkt $ \mbox{$(x_S,y_S)^\text{t}$}$ von $ \mbox{$B$}$ gilt

    $ \mbox{$\displaystyle
\begin{array}{rcl}
x_S & = & -\dfrac{1}{\text{vol}(B)}\d...
...\dfrac{1}{\text{vol}(B)}\displaystyle\int_\gamma xy\;\text{d}y\;.
\end{array}$}$

  2. Es sei $ \mbox{$B\subseteq\mathbb{R}^2$}$ der Bereich im 1. Quadranten, der von den Geraden $ \mbox{$y=x$}$ , $ \mbox{$y=1/x$}$ und $ \mbox{$y=x/4$}$ begrenzt wird. Bestimme mit Hilfe des Greenschen Integralsatzes den Inhalt von $ \mbox{$B$}$ . Bestimme ferner den Schwerpunkt von $ \mbox{$B$}$ .

    Skizze der Berandungskurven.

    \includegraphics[width = 8cm]{p3.eps}