Lösung.

Wir parametrisieren den Rand $ \mbox{$\partial K$}$ der dreidimensionalen Kugel $ \mbox{$K$}$ mit Radius $ \mbox{$R$}$ um den Ursprung mittels

$ \mbox{$\displaystyle \Phi:[0,\pi]\times[-\pi,\pi]\to\mathbb{R}^3,\; \Phi(\ps... ...si)(\cos\varphi)\\ R(\sin\psi)(\sin\varphi)\\ R\cos\psi \end{pmatrix} \, , $}$
und bestimmen den Normalenvektor der Fläche $ \mbox{$\Phi$}$ zu
$ \mbox{$\displaystyle \text{n}_\Phi(\psi, \varphi) \;:=\; (\Phi_\psi \times \Phi_\varphi)(\psi,\varphi) \;=\; R (\sin \psi) \Phi(\psi,\varphi). $}$
Wir bemerken, daß der Normalenvektor stets nicht nach innen zeigt, und wenden den Gaußschen Integralsatz auf das Vektorfeld $ \mbox{$f(x,y,z)=(0,0,z)^{\text{t}}$}$ , dessen Divergenz $ \mbox{$1$}$ beträgt, an.
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \text{vol}(K) &=& \displaystyle \int... ...^3 \right]_0^\pi\vspace{3mm}\\ &=& \dfrac{4}{3} \; \pi R^3 \, . \end{array}$}$