Lösung.

Nach dem Greenschen Integralsatz, angewandt auf das Vektorfeld $ \mbox{$f(x,y)=\frac{1}{2}(-y,x)^{\text{t}}$}$ , ergibt sich der Inhalt der Astroide $ \mbox{$K$}$ zu

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \text{vol}(K) & = & \dfrac{1}{2}\;\di... ...(\cos u) \right]_0^\pi\vspace*{2mm}\\ & = & \dfrac{3\pi}{8}\; . \end{array}$}$
Alternativ kann man auch wie folgt über das Komplexe gehen, sollte man keine Sinus-Cosinus-Vereinfachung erkennen.
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} & & \dfrac{3}{2}\displaystyle\int_0^{... ...}\right]_0^{2\pi}\vspace*{2mm}\\ & = & \dfrac{3\pi}{8}\; . \\ \end{array}$}$

Um die Plausibilität dieses Resultats zu überprüfen, beachte man, daß die Astroide in einem Quadrat der Seitenlänge $ \mbox{$\sqrt{2}$}$ enthalten ist und ihr Flächeninhalt folglich kleiner als $ \mbox{$2$}$ sein muß.