Lösung.

Es sei stets $ \mbox{$g=(g_1,g_2,g_3)^\text{t}$}$ und $ \mbox{$h=(h_1,h_2,h_3)^\text{t}$}$ .

  1. Es wird
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \text{div}(g\times h) &=& \text{div}\... ...& h^\text{t} (\text{rot }g) - g^\text{t} (\text{rot } h) \;. \\ \end{array}$}$

  2. Es wird nach dem Satz von Schwarz
    $ \mbox{$\displaystyle \text{rot}(\text{grad }f) \;=\; \text{rot}\begin{pmatrix... ..._3}\\ f_{x_1x_3}-f_{x_3x_1}\\ f_{x_2x_1}-f_{x_1x_2}\end{pmatrix}\;=\; 0\;. $}$
  3. Es wird nach dem Satz von Schwarz
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \text{div}(\text{rot }g) &=& \text{di... ...artial^2 g_2}{\partial x_1\partial x_3}\vspace*{3mm}\\ &=& 0\;. \end{array}$}$

  4. Sei $ \mbox{$K\subseteq\mathbb{R}^2$}$ regulär, wobei $ \mbox{$\gamma:[a,b]\to\mathbb{R}^2$}$ den positiv orientierten Rand $ \mbox{$\partial K$}$ parametrisiere. Sei $ \mbox{$O\subseteq\mathbb{R}^2$}$ eine offene Obermenge von $ \mbox{$K$}$ und sei $ \mbox{$f:O\to\mathbb{R}^2$}$ ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Sei $ \mbox{$\Phi:K\to\mathbb{R}^3$}$ , $ \mbox{$(x_1,x_2)^\text{t}\mapsto (x_1,x_2,0)^\text{t}$}$ . Dann gilt
    $ \mbox{$\displaystyle \partial\Phi \;=\; \Phi\circ\gamma\;. $}$

    Sei $ \mbox{$G := O\times\mathbb{R}$}$ als offene Obermenge von $ \mbox{$\mathcal T(\Phi)$}$ gewählt, und sei $ \mbox{$\tilde f: G\to\mathbb{R}^3$}$ , $ \mbox{$(x_1,x_2,x_3)^\text{t}\mapsto (f_1(x_1,x_2),f_2(x_1,x_2),0)^\text{t}$}$ gesetzt.

    Die linke Seite der Gleichung des Stokesschen Integralsatzes für $ \mbox{$\tilde f$}$ wird zu

    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \displaystyle\int_\Phi \text{rot}\,\t... ... f_2}{\partial x_1} - \dfrac{\partial f_1}{\partial x_2}\; . \\ \end{array}$}$
    Die rechte Seite der Gleichung des Stokesschen Integralsatzes für $ \mbox{$\tilde f$}$ wird zu
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \displaystyle\int_{\partial\Phi}\tild... ...\text{d}t\vspace{3mm}\\ &=& \displaystyle\int_\gamma f \; .\\ \end{array}$}$
    Der Stokessche Integralsatz für $ \mbox{$\tilde{f}$}$ impliziert also den Greenschen Integralsatz für $ \mbox{$f$}$ .