Beispiel.

Es seien $ \mbox{$G\subseteq\mathbb{R}^3$}$ ein Gebiet, $ \mbox{$f:G\to\mathbb{R}$}$ eine stetig differenzierbare skalare Funktion, und $ \mbox{$g,h:G\to\mathbb{R}^3$}$ stetig differenzierbare Vektorfelder. Zeige.

  1. $ \mbox{$\text{div}(g\times h) = h^\text{t} (\text{rot }g) - g^\text{t} (\text{rot } h)$}$ .
  2. Ist $ \mbox{$f$}$ zweimal stetig differenzierbar, so gilt $ \mbox{$\text{rot}(\text{grad }f)=0$}$ .
  3. Ist $ \mbox{$g$}$ zweimal stetig differenzierbar, so gilt $ \mbox{$\text{div}(\text{rot }g)=0$}$ .
  4. Der Greensche Integralsatz folgt aus dem Stokesschen Integralsatz, wenn letzterer auf die Fläche $ \mbox{$\Phi:K\to\mathbb{R}^3$}$ , $ \mbox{$(x_1,x_2)^\text{t}\mapsto (x_1,x_2,0)^\text{t}$}$ , $ \mbox{$K \subseteq \mathbb{R}^2$}$ regulär, angewandt wird.