Lösung.

Es gilt $ \mbox{$\Phi'(x)=A$}$ für alle $ \mbox{$x$}$ . Es sei etwa $ \mbox{$A=(a_1,a_2)$}$ mit $ \mbox{$a_1,a_2\in\mathbb{R}^3$}$ . Es wird
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \text{area}(\Phi) &=& \displaystyle\i... ...^{\frac{1}{2}} \vspace*{2mm}\\ &=& \sqrt{\det(A^\text{t}A)}\; , \end{array}$}$
wobei wir die Identität
$ \mbox{$\displaystyle \Vert a_1\times a_2\Vert^2=\Vert a_1\Vert^2\,\Vert a_2\Vert^2-\Vert a_1^\text{t} a_2\Vert^2 $}$
verwendet haben.

Es handelt sich hierbei um den Flächeninhalt des von den Spalten von $ \mbox{$A$}$ aufgespannten Parallelogramms.