Lösung.

Wir verwenden die verallgemeinerte Kugelkoordinatentransformation

$ \mbox{$\displaystyle g\; :\; \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\; , \;\;\; (r, \p... ...psi) (\cos \varphi), b r (\sin \psi) (\sin \varphi), c r \cos \psi)^\text{t} $}$
und erhalten $ \mbox{$K = g(M)$}$ mit
$ \mbox{$\displaystyle M \; :=\; \{ (r, \psi, \varphi)^\text{t} \in \mathbb{R}... ...rt\; 0 \leq r \leq 1, 0 \leq \psi \leq \pi, 0 \leq \varphi \leq 2\pi \} \; . $}$
Wir berechnen zunächst
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \det g'(r,\psi,\varphi) & = & \det ... ...\psi) (\sin \psi)^2\vspace{3mm}\\ & = & abc r^2 \sin \psi \, . \end{array}$}$
Damit berechnet sich das Volumen des Ellipsoiden zu
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \text{vol}(K) & = & \displaystyle \i... ...pace{3mm}\\ & = & \displaystyle \dfrac{4}{3} \pi abc \; . \\ \end{array}$}$

Schließlich ist

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \int_K f & = & \displaystyle \int_{g... ... \text{d}r\vspace{3mm}\\ & = & \displaystyle \pi abc \; . \\ \end{array}$}$

Der Dimensionstest ist in Ordnung, da der Wert von $ \mbox{$f$}$ die Dimension $ \mbox{$0$}$ hatte.