Lösung.

Es sei

$ \mbox{$\displaystyle M' \; :=\; \{ (x,y)^\text{t}\in\mathbb{R}^2 \; \vert\; x^2+y^2 \leq 2ax,\; x^2+y^2\leq4a^2 \}. $}$

Mit dem Satz von Fubini erhalten wir somit zunächst

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \text{vol}(M) & = & \displaystyle \i... ...\displaystyle 2 \int_{M'} \sqrt{4a^2-x^2-y^2} \, \text{d}(x,y). \end{array}$}$

Wir betrachten nun die Polarkoordinatentransformation

$ \mbox{$\displaystyle g(r,\varphi) = \begin{pmatrix} r \cos \varphi\\ r \sin \varphi \end{pmatrix}. $}$
Wir erhalten damit als Integrationsbereich
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} r^2 & \leq & 2 a r \cos \varphi,\vspace{3mm}\\ r^2 & \leq & 4a^2. \end{array}$}$
Es sei zunächst $ \mbox{$r>0$}$ . Lösen wir die beiden obigen Ungleichungen nach $ \mbox{$r$}$ auf, so sehen wir, daß die zweite Ungleichung stets erfüllt ist, sofern nur die erste gilt. Nun bemerken wir, daß diese Beobachtung trivialerweise auch für $ \mbox{$r=0$}$ zutrifft. Wir können die zweite Ungleichung also in unseren weiteren Betrachtungen vernachlässigen und erhalten mit der Achsensymmetrie des Cosinus
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \text{vol}(M) & = & \displaystyle 2 ... ...= & \dfrac{32}{3} a^3 \left(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{2}{3}\right). \end{array}$}$