Die mehrdimensionale Substitutionsregel.

Sei folgende Situation gegeben.

Wir wollen die Funktion $ \mbox{$f(x)$}$ integrieren, und dazu $ \mbox{$x = g(t)$}$ substituieren. Die genannten Bedingungen an $ \mbox{$g$}$ besagen hierbei grob gesprochen, daß $ \mbox{$g$}$ hierzu überall regulär sein soll, ausgenommen möglicherweise auf einer vernachlässigbaren Teilmenge $ \mbox{$N \subseteq M$}$ .

Es gilt die Substitutionsregel

$ \mbox{$\displaystyle \int_{g(M)} f(x) \, \text{d} x \, = \, \int_M f(g(t)) \vert \det g'(t) \vert \, \text{d} t. $}$

Wir führen drei wichtige Anwendungen der mehrdimensionalen Substitutionsregel auf.

Polarkoordinaten im $ \mbox{$\mathbb{R}^2$}$ .

Die Polarkoordinaten $ \mbox{$(r,\varphi)^\text{t} \in (0,\infty)\times[-\pi,\pi)$}$ eines Punktes $ \mbox{$(x,y)^\text{t} \in \mathbb{R}^2\setminus\{0\}$}$ sind definiert durch die Gleichungen $ \mbox{$x = r \cos \varphi$}$ und $ \mbox{$y = r \sin \varphi$}$ .

Betrachtet man die Polarkoordinatentransformation $ \mbox{$g:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$}$ , $ \mbox{$(r,\varphi)^\text{t} \mapsto (r \cos \varphi, r \sin \varphi)^\text{t}$}$ , so ist $ \mbox{$g$}$ stetig differenzierbar mit $ \mbox{$\det g'(r,\varphi) = r$}$ .

Seien $ \mbox{$M \subseteq [0,\infty)\times[-\pi,\pi]$}$ kompakt, $ \mbox{$g(M)$}$ meßbar und $ \mbox{$f:g(M) \to \mathbb{R}$}$ stetig.

Dann gilt

$ \mbox{$\displaystyle \int_{g(M)} f(x,y) \, \text{d}(x,y) \, = \, \int_M f(r \cos \varphi, r \sin \varphi) r \, \text{d}(r,\varphi). $}$

Wir bemerken, daß in der Anwendung in der Regel zunächst $ \mbox{$g(M)$}$ gegeben ist, und man sich dazu $ \mbox{$M$}$ geeignet suchen muß.

Zylinderkoordinaten im $ \mbox{$\mathbb{R}^3$}$ .

Die Zylinderkoordinaten $ \mbox{$(r,\varphi,z)^\text{t} \in (0,\infty)\times[-\pi,\pi) \times \mathbb{R}$}$ eines Punktes $ \mbox{$(x,y,z)^\text{t} \in (\mathbb{R}^2\setminus\{0\}) \times \mathbb{R}$}$ sind definiert durch die Gleichungen $ \mbox{$x = r \cos \varphi$}$ , $ \mbox{$y = r \sin \varphi$}$ und $ \mbox{$z = z$}$ .

Betrachtet man die Zylinderkoordinatentransformation $ \mbox{$g:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$}$ , $ \mbox{$(r,\varphi,z)^\text{t} \mapsto (r \cos \varphi, r \sin \varphi,z)^\text{t}$}$ , so ist $ \mbox{$g$}$ stetig differenzierbar mit $ \mbox{$\det g'(r,\varphi) = r$}$ .

Seien $ \mbox{$M \subseteq [0,\infty)\times[-\pi,\pi]\times\mathbb{R}$}$ kompakt, $ \mbox{$g(M)$}$ meßbar und $ \mbox{$f:g(M) \to \mathbb{R}$}$ stetig.

Dann gilt

$ \mbox{$\displaystyle \int_{g(M)} f(x,y,z) \, \text{d}(x,y,z) \, = \, \int_M f(r \cos \varphi, r \sin \varphi, z) r \, \text{d}(r,\varphi,z). $}$

Kugelkoordinaten im $ \mbox{$\mathbb{R}^3$}$ .

Die Kugelkoordinaten $ \mbox{$(r,\psi,\varphi)^\text{t} \in (0,\infty)\times [0,\pi) \times [-\pi,\pi)$}$ eines Punktes $ \mbox{$(x,y,z)^\text{t} \in \mathbb{R}^3\setminus\{0\}$}$ sind definiert durch die Gleichungen $ \mbox{$x = r (\sin \psi) (\cos \varphi)$}$ , $ \mbox{$y = r (\sin \psi) (\sin \varphi)$}$ und $ \mbox{$z = r \cos \psi$}$ .

Betrachtet man die Kugelkoordinatentransformation $ \mbox{$g:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$}$ , $ \mbox{$(r,\psi,\varphi)^\text{t} \mapsto (r (\sin \psi) (\cos \varphi), r (\sin \psi) (\sin \varphi), r \cos \psi)^\text{t}$}$ , so ist $ \mbox{$g$}$ stetig differenzierbar mit $ \mbox{$\det g'(r,\varphi) = r^2 \sin \psi$}$ .

Seien $ \mbox{$M \subseteq [0,\infty)\times[0,\pi]\times [-\pi,\pi]$}$ kompakt, $ \mbox{$g(M)$}$ meßbar und $ \mbox{$f:g(M) \to \mathbb{R}$}$ stetig.

Dann gilt

$ \mbox{$\displaystyle \int_{g(M)} f(x,y,z) \, \text{d}(x,y,z) \, = \, \int_... ...i) (\sin \varphi), r \cos \psi) r^2 \sin \psi \, \text{d}(r,\psi,\varphi). $}$