Aufgabe.

Für $ \mbox{$a,\, \rho \,\geq\, 0$}$ seien

$ \mbox{$\displaystyle
K_\rho \; := \; \{ (x,y)^\text{t} \in \mathbb{R}^2 \; \vert\; x^2 + y^2 \leq \rho^2 \text{ mit } x,y \geq 0 \} \;,
$}$
und
$ \mbox{$\displaystyle
Q_a \; :=\; \{ (x,y)^\text{t} \in \mathbb{R}^2 \; \vert\; 0 \leq x \leq a, \; 0 \leq y \leq a\} \; ,
$}$
definiert.

Zeige, daß die Gleichungen

$ \mbox{$\displaystyle
\displaystyle \int_{K_\rho} e^{-(x^2+y^2)} \, \text{d}(x,y) = \dfrac{\pi}{4} \left( 1 - e^{-\rho^2} \right),
$}$
und
$ \mbox{$\displaystyle
\displaystyle \int_{Q_a} e^{-(x^2+y^2)} \, \text{d}(x,y) = \left( \int_0^a e^{-x^2} \, \text{d} x \right)^2
$}$
gelten.

Zeige damit die Identität des Gaußschen Fehlerintegrals

$ \mbox{$\displaystyle
\displaystyle \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} \, \text{d} x = \sqrt{\pi}.
$}$