Lösung.

Wir bestimmen zunächst das Volumen von $ \mbox{$K$}$ . Geometrisch ist $ \mbox{$K$}$ eine obere Kuppe einer Kugel. Aufgrund der Bedingung $ \mbox{$z \geq R/2$}$ ist es an dieser Stelle nicht ratsam, Kugelkoordinaten zu betrachten.

Statt dessen erhalten wir mit dem Satz von Fubini und der Kenntnis, daß ein Kreis mit Radius $ \mbox{$r$}$ den Inhalt $ \mbox{$\pi r^2$}$ besitzt, daß

$ \mbox{$\displaystyle
\begin{array}{rcl}
\text{vol}(K) & = & \displaystyle \i...
...\dfrac{1}{24} R^3)\vspace{3mm}\\
& = & \dfrac{5}{24}\;\pi R^3.
\end{array}$}$

Probe. Dimensionstest. Das Resultat sollte, wenn man Längeneinheiten einführt, von der Dimension $ \mbox{$(\text{L\uml angeneinheit})^3$}$ sein, kurz, es sollte dreidimensional sein. Dies ist der Fall. Auch von der Größenordnung ist es etwas kleiner als ein Viertel des Kugelvolumens, nämlich kleiner als $ \mbox{$\pi R^3/3$}$ . Auch dies stimmt mit der Anschauung überein.

Analog berechnen wir mittels Polarkoordinatentransformation (oder, je nach Interpretation des Geschehens, mit Zylinderkoordinaten)

$ \mbox{$\displaystyle
\begin{array}{rcl}
\displaystyle\int_K f
& = & \displ...
...space{3mm}\\
& = & \displaystyle \frac{9\pi R^6}{512}\; . \\
\end{array}$}$

Probe. Dimensionstest. Die Funktion $ \mbox{$f(x,y,z) = y^2 z$}$ hatte einen dreidimensionalen Wert (daher funktioniert der Test), und $ \mbox{$K$}$ ist ein dreidimensionales Gebilde. Das Ergebnis sollte also Dimension $ \mbox{$3 + 3 = 6$}$ haben.