Lösung.

Verwenden wir die Polarkoordinatentransformation

$ \mbox{$\displaystyle g(r,\varphi) = \begin{pmatrix} r \cos \varphi\\ r \sin \varphi \end{pmatrix}, $}$
so ist $ \mbox{$K = g(M)$}$ mit
$ \mbox{$\displaystyle M := \{ (r, \varphi)^\text{t} \in \mathbb{R}^2 \; \vert\; 0 \leq r \leq 1,\; 0 \leq \varphi \leq \pi \}. $}$

Mit der mehrdimensionalen Substitutionsregel, sowie der eindimensionalen Substitution $ \mbox{$u = r^2+1$}$ , $ \mbox{$\text{d}u = 2r \, \text{d}r$}$ , ergibt sich nun

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{g(M)} \log(x^2+y... ...\vspace{3mm}\\ & = & \dfrac{\pi}{2} ( 2 \log 2 - 1 ) \; . \\ \end{array}$}$