Lösung.

  1. Das Volumen des Viertelskreises $ \mbox{$M$}$ beträgt $ \mbox{$\text{vol}(M)=\dfrac{\pi}{4}$}$ .

    Es wird mit Polarkoordinatensubstitution und dem Satz von Fubini

    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} s_1 & = & \dfrac{4}{\pi} \displayst... ... & = & \dfrac{4}{3\pi}\vspace{3mm}\\ & \approx & 0.424 \, . \end{array} $}$

    Aus Symmetriegründen ist $ \mbox{$s_2 = s_1$}$ . Der Schwerpunkt ist demnach $ \mbox{$S=\left(\dfrac{4}{3\pi} \, ,\, \dfrac{4}{3\pi}\right)^\text{t}$}$ .

  2. Das Volumen der Halbkugel $ \mbox{$M$}$ beträgt $ \mbox{$\text{vol}(M)=\dfrac{2 \pi}{3}$}$ .

    Mit der Kugelkoordinatensubstitution und dem Satz von Fubini erhalten wir

    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} s_1 & = & \dfrac{3}{2 \pi} \display... ...ext{d} \psi \right) \, \text{d} r\vspace{3mm}\\ & = & 0. \; \end{array} $}$

    Aus Symmetriegründen ist auch $ \mbox{$s_2 = 0$}$ .

    Weiterhin erhalten wir mit der Kugelkoordinatensubstitution und dem Satz von Fubini

    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} s_3 & = & \dfrac{3}{2 \pi} \display... ... \pi r^3 \, \text{d} r\vspace{3mm}\\ & = & \dfrac{3}{8} \, . \end{array} $}$

    Der Schwerpunkt ist demnach $ \mbox{$S=\left(0 \, , \, 0 \, , \, \dfrac{3}{8}\right)^\text{t}$}$ .