Lösung.

Sei $ \mbox{$A := (p_1, \ldots, p_n) \in \mathbb{R}^{n \times n}$}$ die Matrix, welche als $ \mbox{$i$}$ -te Spalte $ \mbox{$p_i$}$ beinhaltet.

Sei $ \mbox{$g:\mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^n$}$ , $ \mbox{$x\mapsto g(x) = Ax$}$ . Dann ist $ \mbox{$\mathfrak{P}(p_1,\ldots,p_n)=g([0,1] \times \ldots \times [0,1])$}$ .

Gemäß Substitutionsregel erhalten wir

$ \mbox{$\displaystyle
\begin{array}{rcl}
\text{vol}(\mathfrak{P}(p_1, \ldots,...
...dot \vert \det A \vert\vspace{3mm}\\
& = & \vert \det A \vert.
\end{array}$}$