Beispiel.

Es sei $ \mbox{$M \subseteq \mathbb{R}^n$}$ meßbar. Der Schwerpunkt von $ \mbox{$M$}$ ist der Punkt $ \mbox{$S=(s_1, \ldots, s_n)^\text{t} \in \mathbb{R}^n$}$ mit den Koordinaten

$ \mbox{$\displaystyle s_i := \dfrac{1}{\text{vol}(M)} \, \int_M x_i \, \text{d}(x_1, \ldots, x_n). $}$

Berechne jeweils den Schwerpunkt

  1. des Viertelskreises $ \mbox{$M = \{ (x_1,x_2)^\text{t} \in \mathbb{R}^2 \; \vert\; x_1^2 + x_2^2 \leq 1,\; x_1,x_2 \geq 0 \}$}$ .
  2. der Halbkugel $ \mbox{$M = \{ (x_1,x_2,x_3)^\text{t} \in \mathbb{R}^3 \; \vert\; x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 \leq 1,\; x_3 \geq 0 \}$}$ .