Lösung.

  1. $ \mbox{$n=1:$}$
    Es ist
    $ \mbox{$\displaystyle K_1(r)=\{x_1\in\mathbb{R}\ \vert\ x_1^2\leq r^2\}=[-r,r], $}$
    also folgt
    $ \mbox{$\displaystyle \text{vol}(K_1(r))=2r=r^1c_1, $}$
    da $ \mbox{$\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}{\cos\varphi\ \text{d}\varphi}=2$}$ gilt.
    $ \mbox{$n\to n+1:$}$
    Für $ \mbox{$x_{n+1}\in\mathbb{R}$}$ und $ \mbox{$M = K_{n+1}(r)$}$ sind
    $ \mbox{$\displaystyle M_{x_{n+1}}=\{(x_1,\dots,x_n)^\text{t}\in\mathbb{R}^n\; ... ...n+1}^2}\right) & \text{f\uml ur } x_{n+1}\in [-r,r] \\ \end{array}\right. $}$
    und
    $ \mbox{$\displaystyle M' \; =\; \{x_{n+1}\in\mathbb{R}\; \vert\; M_{x_{n+1}}\neq\emptyset\} \; =\; [-r,r] $}$
    meßbar, und es folgt
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \text{vol}(K_{n+1}(r)) & = & \displ... ...i\vspace*{3mm}\\ & = & r^{n+1}c_1\cdot\ldots\cdot c_{n+1} \; . \end{array}$}$

  2. Für $ \mbox{$n\geq 2$}$ gilt
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} c_n/2 & = & \displaystyle\int_0^{\pi... ...xt{d}t\vspace{3mm}\\ & = & (n-1)c_{n-2}/2 - (n-1)c_n/2 \;, \\ \end{array}$}$
    und also
    $ \mbox{$\displaystyle n c_n \;=\; (n-1)c_{n-2}\; . $}$

  3. Für $ \mbox{$n\geq 1$}$ folgt
    $ \mbox{$\displaystyle c_{2n}\; =\; \left(1-\frac{1}{2n}\right)c_{2n-2} \; =\; ... ...ace{c_0}_{=\; \pi} \; =\; \pi\cdot\prod_{k=1}^n{\left(1-\frac{1}{2k}\right)} $}$
    sowie
    $ \mbox{$\displaystyle c_{2n+1} \; =\; \left(1+\frac{1}{2n}\right)^{-1} c_{2n-1... ...brace{c_1}_{=\; 2} \; =\; 2\prod_{k=1}^n \left(1+\frac{1}{2k}\right)^{-1}\ . $}$
    Somit gilt
    $ \mbox{$\displaystyle c_n \;=\; \begin{cases} \pi\displaystyle\prod\limits_{k... ...\right)^{-1}} & \text{f\uml ur {$\mbox{$n$}$} ungerade}\; . \end{cases} \; . $}$

  4. Wir müssen zeigen, daß
    $ \mbox{$\displaystyle c_1\cdots c_{2m}=\frac{\pi^m}{m!}\; ,\quad c_1\cdots c_{2m+1}=\frac{\pi^m\ 2^{m+1}}{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2m+1)}\; , $}$
    zeigen wir dies per Induktion für $ \mbox{$m\ge 0$}$ .

    $ \mbox{$m=0:$}$
    Für die erste Formel ist nichts zu zeigen. Für die zweite ergibt sich
    $ \mbox{$\displaystyle c_1\;=\; \frac{\pi^0\ 2^1}{1}\;=\;2 \; . $}$
    $ \mbox{$m\to m+1:$}$
    Wir folgern
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} c_1\cdots c_{2(m+1)} &=& c_1\cdots c... ...cdot 4\cdots (2m+2)}\vspace{3mm}\\ &=& \frac{\pi^{m+1}}{(m+1)!} \end{array}$}$
    sowie
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} c_1\cdots c_{2(m+1)+1} &=& c_1\cdots ... ... &=& \frac{\pi^{m+1}\ 2^{m+2}}{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2m+3)}\; . \end{array}$}$