Aufgabe.

Sei $ \mbox{$n\in\mathbb{Z}_{\ge 1}$}$ , und sei $ \mbox{$r \ge 0$}$ .

Sei $ \mbox{$K_n(r)=\{(x_1,\dots,x_n)^\text{t}\in\mathbb{R}^n\ \vert\ x_1^2+\dots+x_n^2\leq r^2\}$}$ eine $ \mbox{$n-$}$ dimensionale Kugel mit Radius $ \mbox{$r$}$ .

Wir setzen $ \mbox{$c_m:=\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(\cos\varphi)^m\; \text{d}\varphi$}$ für $ \mbox{$m\in\mathbb{Z}_{\ge 1}$}$ .

Zeige.

  1. Es gilt $ \mbox{$\ \text{vol}(K_n(r))=r^nc_1\cdot\dots\cdot c_n$}$ .

  2. Es gilt für $ \mbox{$n\geq 2$}$ die Rekursionsgleichung $ \mbox{$n c_n = (n-1) c_{n-2}$}$ .

  3. Es gilt $ \mbox{$c_n =\begin{cases} \par \pi\prod\limits_{k=1}^{n/2}{\left(1-\frac{1}{2k... ...(n-1)/2}{\left(1+\frac{1}{2k}\right)^{-1}}, & n\text{ ungerade.} \end{cases}$}$ .

  4. Für $ \mbox{$m\in\mathbb{Z}_{\ge 1}$}$ gelten die Volumenformeln
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \text{vol}(K_{2m}(r)) & = & \dfrac{\p... ...^{m-1}\ 2^m}{1\cdot 3\cdot 5\cdot\ldots\cdot (2m-1)}\ r^{2m-1}\ . \end{array}$}$