Lösung.

  1. Es sei
    $ \mbox{$\displaystyle R \;=\; \{(x,y,z)^\text{t}\in\mathbb{R}^3\;\vert\; a\leq x\leq b,\; y^2+z^2\leq (f(x))^2\} \;. $}$
    der Rotationskörper. Für $ \mbox{$x\in [a,b]$}$ ist der $ \mbox{$x$}$ -Schnitt von $ \mbox{$R$}$ gegeben durch
    $ \mbox{$\displaystyle R_x \;=\; \{(y,z)^\text{t}\in\mathbb{R}^2\;\vert\; y^2+z^2\leq (f(x))^2\}\;, $}$
    d.h. $ \mbox{$R_x$}$ ist ein Kreis mit Radius $ \mbox{$f(x)$}$ . Es folgt $ \mbox{$\text{vol}(R_x)=\pi (f(x))^2$}$ . Die Projektion von $ \mbox{$R$}$ auf die $ \mbox{$x$}$ -Achse ist das Intervall $ \mbox{$[a,b]$}$ . Nach dem Prinzip von Cavalieri ergibt sich
    $ \mbox{$\displaystyle \text{vol}(R) \;=\; \int_a^b\text{vol}(R_x)\;\text{d}x \;=\; \pi\int_a^b (f(x))^2\;\text{d}x\;. $}$

    Alternativ kann der Inhalt auch mit der ersten Guldinschen Regel berechnet werden.

    Es sei dazu

    $ \mbox{$\displaystyle M \;=\; \{(x,y)^\text{t}\in\mathbb{R}^2\vert\; a\leq x\leq b,\; 0\leq y\leq f(x)\}\;. $}$
    die vom Graphen von $ \mbox{$f$}$ und der $ \mbox{$x$}$ -Achse eingeschlossene Menge. Die zweite Koordinate des Schwerpunkts $ \mbox{$(s_1,s_2)^\text{t}$}$ von $ \mbox{$M$}$ ergibt sich nach Fubini zu
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} s_2 &=& \dfrac{1}{\text{vol}(M)}\disp... ...{vol}(M)}\displaystyle\int_a^b\dfrac{(f(x))^2}{2}\;\;\text{d}x\;. \end{array}$}$
    Nach der ersten Guldinschen Regel ist der Inhalt des Rotationskörpers $ \mbox{$R$}$ gegeben durch
    $ \mbox{$\displaystyle \text{vol}(R) \;=\; \text{vol}(M)\cdot 2\pi s_2 \;=\; \pi\int_a^b(f(x))^2\;\text{d}x\;, $}$
    was obenstehende Rechnung nochmals bestätigt.

  2. Es sei $ \mbox{$I:=f([a,b])$}$ . Also ist $ \mbox{$I$}$ ein kompaktes Intervall, $ \mbox{$f:[a,b]\to I$}$ ist bijektiv, und $ \mbox{$f^{-1}:I\to[a,b]$}$ ist stetig.

    Es sei

    $ \mbox{$\displaystyle R \;=\; \{(x,y,z)^\text{t}\in\mathbb{R}^3\vert\; y\in I,\; x^2+z^2\leq (f^{-1}(y))^2\}\;. $}$
    der fragliche Rotationskörper. Für jedes $ \mbox{$y\in I$}$ ist der $ \mbox{$y$}$ -Schnitt von $ \mbox{$R$}$ gegeben durch
    $ \mbox{$\displaystyle R^y \;=\; \{(x,z)\in\mathbb{R}^2\vert\; x^2+z^2\leq (f^{-1}(y))^2\}\;, $}$
    d.h. $ \mbox{$R^y$}$ ist ein Kreis mit Radius $ \mbox{$(f^{-1}(y))$}$ und Inhalt $ \mbox{$\pi(f^{-1}(y))^2$}$ . Die Projektion von $ \mbox{$R$}$ auf die $ \mbox{$y$}$ -Achse ist das Intervall $ \mbox{$I$}$ . Nach dem Prinzip von Cavalieri ergibt sich mit anschließender Substitution $ \mbox{$y=f(x)$}$ , $ \mbox{$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=f'(x)$}$ also
    $ \mbox{$\displaystyle \text{vol}(R) \;=\; \int_I \text{vol}(R^y)\;\text{d}y \;... ...pi\int_I (f^{-1}(y))^2\;\text{d}y \;=\; \pi\int_a^b x^2 f'(x)\;\text{d} x\;. $}$

    Alternativ kann der Inhalt auch mit der ersten Guldinschen Regel berechnet werden.

    Es sei dazu

    $ \mbox{$\displaystyle M \;=\; \{(x,y)^\text{t}\in\mathbb{R}^2\vert\; y\in I,\; 0\leq x\leq f^{-1}(y)\}\;. $}$
    die vom Graphen von $ \mbox{$f$}$ und der $ \mbox{$y$}$ -Achse eingeschlossene Menge. Die erste Koordinate des Schwerpunktes $ \mbox{$(s_1,s_2)^\text{t}$}$ von $ \mbox{$M$}$ berechnet sich nach dem Satz von Fubini und anschließender Substitution $ \mbox{$y=f(x)$}$ , $ \mbox{$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=f'(x)$}$ zu
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} s_1 &=& \dfrac{1}{\text{vol}(M)}\disp... ...vol}(M)}\displaystyle\int_a^b\dfrac{x^2}{2}\; f'(x)\;\text{d}x\;. \end{array}$}$
    Nach der ersten Guldinschen Regel ist der Inhalt des Rotationskörpers $ \mbox{$R$}$ gegeben durch
    $ \mbox{$\displaystyle \text{vol}(R) \;=\; \text{vol}(M)\cdot 2\pi s_1 \;=\; \int_a^b x^2f'(x)\;\text{d}x\;. $}$

  3. Man betrachte die Funktion
    $ \mbox{$\displaystyle f:[0,h]\to\mathbb{R},\; f(x):=rx/h\;. $}$
    Dann ist der Rotationskörper, der bei Rotation des Graphen von $ \mbox{$f$}$ um die $ \mbox{$x$}$ -Achse entsteht, ein Kegel mit kreisförmiger Grundfläche vom Radius $ \mbox{$r$}$ und Höhe $ \mbox{$h$}$ . Nach 1. ist der gesuchte Inhalt gegeben durch
    $ \mbox{$\displaystyle \pi\int_0^h(f(x))^2\;\text{d}x \;=\; \pi\int_0^h \dfrac{... ...\; \pi\left[\dfrac{r^2x^3}{3h^2}\right]_0^h \;=\; \dfrac{1}{3}\;\pi r^2 h\;, $}$
    in Übereinstimmung mit dem zweiten Beispiel.

  4. Man betrachte die Funktion
    $ \mbox{$\displaystyle f:[-r,r]\to\mathbb{R}\; ,\;\;\; f(x):=\sqrt{r^2-x^2}\;. $}$
    Dann ist der Rotationskörper, der bei Rotation des Graphen von $ \mbox{$f$}$ um die $ \mbox{$x$}$ -Achse ensteht, eine Kugel mit Radius $ \mbox{$r$}$ . Nach 1. ist der gesuchte Inhalt gegeben durch
    $ \mbox{$\displaystyle \pi\int_{-r}^r(f(x))^2\;\text{d}x \;=\; \pi\int_{-r}^r(r... ...t{d}x \;=\; \pi\left[r^2x-x^3/3\right]_{-r}^r \;=\; \dfrac{4}{3}\;\pi r^3\;. $}$

  5. Nach 1. ist der gesuchte Inhalt gegeben durch
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \pi\displaystyle\int_{-1}^1(f(x))^2\;... ...^{-2x}+4x}{8}\right]_{-1}^1 \;=\; \pi\;\dfrac{e^2-e^{-2}+4}{4}\;. \end{array}$}$