Lösung.

Es ist $ \mbox{$M$}$ beschränkt, und der Rand von $ \mbox{$M$}$ ist eine Lebesguesche Nullmenge, also ist $ \mbox{$M$}$ meßbar. Zudem ist $ \mbox{$f$}$ eine stetige Funktion auf $ \mbox{$M$}$ , also auch integrierbar über $ \mbox{$M$}$ . Wir bilden den $ \mbox{$y$}$ -Schnitt

$ \mbox{$\displaystyle M^y \; =\; \{x\in\mathbb{R}\ \vert\ x^2+y^2\leq 4,\ y\ge... ...ext{falls {$\mbox{$y\in [1,2]$}$}}\\ \emptyset, & \text{sonst} \end{cases}$}$
sowie
$ \mbox{$\displaystyle M''\;=\;\{y\in\mathbb{R}\ \vert\ M^y\neq\emptyset\}=[1,2]\;. $}$
Diese Mengen sind meßbar, also folgt
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \displaystyle\int_M y\; \text{d}(x,y)... ...; \left[- \frac{2}{3} (4-y^2)^{3/2}\right]_1^2 \;=\; 2\sqrt{3}\;. \end{array}$}$