Beispiel.

Es sei $ \mbox{$f:[a,b]\to\mathbb{R}$}$ eine stetige Funktion, wobei $ \mbox{$a,b\in\mathbb{R}$}$ mit $ \mbox{$a<b$}$ .
  1. Es gelte $ \mbox{$f(x)\geq 0$}$ für alle $ \mbox{$x\in[a,b]$}$ . Bestimme das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn die vom Graphen von $ \mbox{$f$}$ und der $ \mbox{$x$}$ -Achse eingeschlossene Fläche um die $ \mbox{$x$}$ -Achse rotiert.
  2. Die Funktion $ \mbox{$f$}$ sei streng monoton, stetig differenzierbar, und es gelte $ \mbox{$a\geq 0$}$ . Bestimme das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn die vom Graphen von $ \mbox{$f$}$ und der $ \mbox{$y$}$ -Achse eingeschlossene Fläche um die $ \mbox{$y$}$ -Achse rotiert.

  3. Bestimme das Volumen eines Kegels mit kreisförmiger Grundfläche vom Radius $ \mbox{$r$}$ und Höhe $ \mbox{$h$}$ mit Hilfe von 1.

  4. Bestimme das Volumen einer Kugel mit Radius $ \mbox{$r$}$ mit Hilfe von 1.

  5. Die Kettenlinie $ \mbox{$f(x)=\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$}$ , $ \mbox{$x\in[-1,1]$}$ , rotiere um die $ \mbox{$x$}$ -Achse. Bestimme das Volumen des entstehenden Rotationskörpers.