Lösung.

  1. Es gilt
    $ \mbox{$\displaystyle f(x_1,x_2,x_3) \;=\; \left(x_1\log(1+x_1^2+x_2^2+x_3^2),... ...og(1+x_1^2+x_2^2+x_3^2),\; x_3\log(1+x_1^2+x_2^2+x_3^2) \right)^\text{t}\;. $}$
    Also folgt
    $ \mbox{$\displaystyle \dfrac{\partial f_1}{\partial x_2} \;=\; \dfrac{2x_1x_2}{1+x_1^2+x_2^2+x_3^2} \;=\; \dfrac{\partial f_2}{\partial x_1}\;, $}$
    und aus Symmetriegründen folgen $ \mbox{$\dfrac{\partial f_1}{\partial x_3}=\dfrac{\partial f_3}{\partial x_1}$}$ und $ \mbox{$\dfrac{\partial f_2}{\partial x_3}=\dfrac{\partial f_3}{\partial x_2}$}$ . Also erfüllt $ \mbox{$f$}$ die Integrabilitätsbedingungen auf $ \mbox{$\mathbb{R}^3$}$ . Nach dem zweiten Hauptsatz für Kurvenintegrale ist das Vektorfeld $ \mbox{$f$}$ mithin konservativ, da das Gebiet $ \mbox{$\mathbb{R}^3$}$ sternförmig ist.

  2. Eine Parametrisierung von $ \mbox{$\gamma_x$}$ lautet
    $ \mbox{$\displaystyle \gamma_x:[0,1]\to\mathbb{R}^3,\; \gamma_x(t)=tx\;. $}$
    Also gilt $ \mbox{$\dot{\gamma_x}(t)=x$}$ für alle $ \mbox{$t\in[0,1]$}$ . Mit der Substitution $ \mbox{$u=1+t^2\Vert x\Vert^2$}$ wird
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \displaystyle\int_{\gamma_x} f &=& \d... ...t x\Vert^2)\log(1+\Vert x\Vert^2)-\dfrac{1}{2}\;\Vert x\Vert^2\;. \end{array}$}$

  3. Nach Aufgabenteil 1. besitzt das Vektorfeld $ \mbox{$f$}$ eine Stammfunktion $ \mbox{$F$}$ . Wir können o.E. $ \mbox{$F(0)=0$}$ annehmen, da die Subtraktion einer Konstanten nichts an der Ableitung ändert. Mit dem ersten Hauptsatz für Kurvenintegrale und Aufgabenteil 2. folgt dann
    $ \mbox{$\displaystyle \dfrac{1}{2}\;(1+\Vert x\Vert^2)\log(1+\Vert x\Vert^2)-\... ...Vert x\Vert^2 \;=\; \displaystyle\int_{\gamma_x}f \;=\; F(x)-F(0) \;=\; F(x) $}$
    für alle $ \mbox{$x\in\mathbb{R}^3$}$ . Somit ist
    $ \mbox{$\displaystyle F(x) \;=\; \dfrac{1}{2}\;(1+\Vert x\Vert^2)\log(1+\Vert x\Vert^2)-\dfrac{1}{2}\;\Vert x\Vert^2 $}$
    eine Stammfunktion von $ \mbox{$f$}$ .