Lösung.

Es wird

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \dfrac{\partial f_1}{\partial y} &=& ... ...\ \dfrac{\partial f_2}{\partial x} &=& \dfrac{-2(x+y)}{(x-y)^3} \end{array}$}$
und
$ \mbox{$\displaystyle \dfrac{\partial f_1}{\partial z} \;=\; \dfrac{\partial f... ...; \dfrac{\partial f_2}{\partial z} \;=\; \dfrac{\partial f_3}{\partial y}\;. $}$

Also erfüllt $ \mbox{$f$}$ genau dann die Integrabilitätsbedingungen, wenn $ \mbox{$a=-2$}$ .

Man kann eine Stammfunktion $ \mbox{$F$}$ in diesem Falle wie folgt berechnen.

$ \mbox{$\displaystyle \dfrac{\partial F}{\partial x} \;=\; -\dfrac{2y}{(x-y)^2} \;\;\Longrightarrow\;\; F(x,y,z) \;=\; \dfrac{2y}{x-y}+c(y,z) $}$
für eine Funktion $ \mbox{$c$}$ , die nur von $ \mbox{$y$}$ und $ \mbox{$z$}$ abhängt. Weiter gilt
$ \mbox{$\displaystyle \dfrac{2x}{(x-y)^2}+\dfrac{\partial c}{\partial y} \;=\;... ...rtial y} \;=\; \dfrac{2x}{(x-y)^2}\;+1 \;\;\Longrightarrow\;\; c(y,z)=y+d(z) $}$
für eine Funktion $ \mbox{$d$}$ , die nur von $ \mbox{$z$}$ abhängt. Schließlich gilt
$ \mbox{$\displaystyle d'(z) \;=\; \dfrac{\partial F}{\partial z} \;=\; z \;\;\Longrightarrow\;\; d(z)\; \;=\; \dfrac{z^2}{2}+\text{const.} $}$
Wir können also $ \mbox{$d(z)=\dfrac{z^2}{2}$}$ wählen und erhalten als Stammfunktion
$ \mbox{$\displaystyle F(x,y,z) \;=\; - \dfrac{2y}{(x-y)^2}+y+\dfrac{z^2}{2}\;. $}$
Der maximale Definitionsbereich ist dabei $ \mbox{$G:=\{(x,y,z)^\text{t}\in\mathbb{R}^3\; \vert\; x\ne y\}$}$ . Man beachte, daß das Gebiet $ \mbox{$G$}$ nicht einfach zusammenhängend ist (also auch nicht sternförmig). Trotzdem gilt $ \mbox{$\nabla F=f$}$ auf dem gesamten Gebiet $ \mbox{$G$}$ . Man hätte aber auch eine Stammfunktion erhalten, wenn man auf $ \mbox{$\{(x,y,z)^\text{t}\in\mathbb{R}^3\; \vert\; x > y\}$}$ noch eine beliebige Konstante zu $ \mbox{$F$}$ addiert hätte.