Lösung.

Wir geben drei Lösungsmöglichkeiten an.

  1. Wir wollen mit dem zweiten Hauptsatz für Kurvenintegrale beweisen, daß $ \mbox{$f$}$ konservativ ist. Es gilt
    $ \mbox{$\displaystyle f(x_1,x_2,x_3) \;=\; \left(\frac{x_1}{(x_1^2+x_2^2+x_3^2... ...2+x_3^2)^{3/2}},\; \frac{x_3}{(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{3/2}}\right)^\text{t}\;. $}$
    Also ist
    $ \mbox{$\displaystyle \dfrac{\partial f_1}{\partial x_2} \;=\; \dfrac{-x_1\fra... ...2}\;2x_1}{(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^3} \;=\; \dfrac{\partial f_2}{\partial x_1}\;. $}$
    Aus Symmetriegründen ist daher auch
    $ \mbox{$\displaystyle \dfrac{\partial f_1}{\partial x_3} \;=\; \dfrac{\partial... ...frac{\partial f_2}{\partial x_3} \;=\; \dfrac{\partial f_3}{\partial x_2}\;. $}$
    Also erfüllt $ \mbox{$f$}$ die Integrabilitätsbedingungen. Da das Gebiet $ \mbox{$\mathbb{R}^3\setminus\{0\}$}$ einfach zusammenhängend ist, ist das Vektorfeld $ \mbox{$f$}$ nach dem zweiten Hauptsatz für Kurvenintegral konservativ. Da der Weg $ \mbox{$\gamma$}$ geschlossen ist, folgt also
    $ \mbox{$\displaystyle \int_\gamma f=0\;. $}$

  2. Wir berechnen direkt eine Stammfunktion von $ \mbox{$f$}$ . Es gilt
    $ \mbox{$\displaystyle \Vert x\Vert' \;=\; \frac{1}{\Vert x\Vert}\;x $}$
    für $ \mbox{$x\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$}$ , wie man direkt verifiziert. Ist $ \mbox{$\alpha\ne 0$}$ , so folgt mit der Kettenregel
    $ \mbox{$\displaystyle \left(\Vert x\Vert^\alpha\right)' \;=\; \alpha\Vert x\Vert^{\alpha-1}\cdot (\Vert x\Vert)' \;=\; \alpha\Vert x\Vert^{\alpha-2}\;x\;. $}$
    Speziell gilt also mit $ \mbox{$\alpha=-1$}$
    $ \mbox{$\displaystyle \left(\frac{1}{\Vert x\Vert}\right)' \;=\; -\frac{1}{\Vert x\Vert^3}\;x\;. $}$
    Also ist die Funktion
    $ \mbox{$\displaystyle F:\mathbb{R}^3\setminus\{0\}\to\mathbb{R},\; F(x)=-\frac{1}{\Vert x\Vert} $}$
    eine Stammfunktion von $ \mbox{$f$}$ . Mithin ist das Vektorfeld $ \mbox{$f$}$ konservativ, und es folgt $ \mbox{$\int_\gamma f=0$}$ , da der Weg $ \mbox{$\gamma$}$ geschlossen ist.

  3. Wir berechnen $ \mbox{$\int_\gamma f$}$ direkt mit der Definition. Es wird mit der Substitution $ \mbox{$u=\sin\dfrac{t}{2}$}$ und $ \mbox{$\dfrac{\text{d}u}{\text{d}t}=\dfrac{1}{2}\;\cos\dfrac{t}{2}$}$
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \displaystyle\int_\gamma f &=& \displ... ...\frac{4}{(1+4u^2)^{3/2}}\; u\;\text{d}u\vspace*{2mm}\\ &=& 0\;. \end{array}$}$

Skizze des Vivianischen Fensters.

\includegraphics[width = 8cm]{s2.eps}