Lösung.

Der Punkt mit den Polarkoordinaten $ \mbox{$r$}$ und $ \mbox{$\varphi$}$ hat die Koordinaten $ \mbox{$(r\cos\varphi,r\sin\varphi)^\text{t}$}$ . Also ist eine Parameterdarstellung der Kardioide gegeben durch

$ \mbox{$\displaystyle \gamma:[0,2\pi]\to\mathbb{R}^2\;,\;\; \gamma(t) \;=\; \left((1+\cos t)\cos t,(1+\cos t)\sin t\right)^\text{t}\;. $}$

Demnach berechnet sich die Länge der Kardioide zu

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \ell(\gamma) &=& \displaystyle\int_0^... ...=& -4\cdot [\cos\frac{t}{2}]_0^{2\pi} \vspace*{2mm}\\ &=& 8 \;. \end{array}$}$

Skizze der Kardioide, auch Herzkurve genannt.

\includegraphics[width = 8cm]{s1.eps}