Lösung.

  1. Es wird
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \displaystyle\int_\gamma f &=& \displ... ...isplaystyle\int_0^{2\pi}1\;\text{d}t\vspace*{2mm}\\ &=& 2\pi\;. \end{array}$}$

  2. Es wird
    $ \mbox{$\displaystyle \dfrac{\partial f_1}{\partial y} \;=\; \dfrac{-(x^2+y^2)... ...{(x^2+y^2)-x\cdot 2x}{(x^2+y^2)^2} \;=\; \dfrac{\partial f_2}{\partial x}\;. $}$
    Also erfüllt $ \mbox{$f$}$ die Integrabilitätsbedingungen.

  3. Wäre das Vektorfeld $ \mbox{$f$}$ konservativ mit Stammfunktion $ \mbox{$F$}$ , so würde nach dem ersten Hauptsatz für Kurvenintegrale gelten
    $ \mbox{$\displaystyle \int_\gamma f \;=\; 0 $}$
    für alle geschlossenen Wege $ \mbox{$\gamma$}$ . Dies widerspräche aber dem Ergebnis aus 1.

    Also ist das Vektorfeld $ \mbox{$f$}$ nicht konservativ.

    Bemerkung: Dies wiederspricht nicht dem zweiten Hauptsatz für Kurvenintegrale, denn das Gebiet $ \mbox{$\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$}$ ist nicht einfach zusammenhängend (und insbesondere nicht sternförmig). Es hat ein ,,Loch``bei $ \mbox{$(0,0)^\text{t}$}$ .