Lösung.

  1. Zunächst berechnen wir
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rclcl} \dfrac{\partial f_1}{\partial y} &=... ... f_2}{\partial x} &=& \dfrac{\partial(y-x)}{\partial x} &=& -1\;. \end{array}$}$
    Also erfüllt $ \mbox{$f$}$ nicht die Integrabilitätsbedingungen und besitzt daher auch keine Stammfunktion.

    Das Kurvenintegral von $ \mbox{$f$}$ längs $ \mbox{$\gamma$}$ ergibt sich zu

    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \displaystyle\int_\gamma f &=& \displ... ...}-\dfrac{t^3}{3}\right]_0^2\vspace*{2mm}\\ &=& \dfrac{16}{3}\;. \end{array}$}$

  2. Hier erfüllt $ \mbox{$f$}$ die Integrabilitätsbedingungen, denn es gilt
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rclcl} \dfrac{\partial f_1}{\partial y} &=... ...}{\partial z} &=& 2x^3y+1 &=& \dfrac{\partial f_3}{\partial y}\;. \end{array}$}$
    Ferner ist der Definitionsbereich von $ \mbox{$f$}$ ein sternförmiges, also einfach zusammenhängendes Gebiet, nämlich $ \mbox{$\mathbb{R}^2$}$ . Nach dem zweiten Hauptsatz für Kurvenintegrale ist das Vektorfeld $ \mbox{$f$}$ also konservativ.

    Wir wollen nun eine Stammfunktion $ \mbox{$F$}$ von $ \mbox{$f$}$ berechnen. Hierzu iteriert man ,,partielles Aufleiten``.

    Zunächst wird

    $ \mbox{$\displaystyle \dfrac{\partial F}{\partial x} \;=\; 3x^2y^2z+1 \;\implies\; F(x,y,z) \;=\; x^3y^2z+x+c(y,z) $}$
    mit einer stetig differenzierbaren Funktion $ \mbox{$c = c(y,z)$}$ , die nicht von $ \mbox{$x$}$ abhängt.

    Weiter gilt

    $ \mbox{$\displaystyle 2x^3yz+\dfrac{\partial c}{\partial y} \;=\; \dfrac{\partial F}{\partial y} \;=\; 2x^3yz+z \;\implies\; c(y,z) \;=\; y z + d(z) $}$
    für eine stetig differenzierbare Funktion $ \mbox{$d = d(z)$}$ , die weder von $ \mbox{$x$}$ noch von $ \mbox{$y$}$ abhängt.

    Schließlich gilt

    $ \mbox{$\displaystyle x^3y^2+y+d'(z) \;=\; \dfrac{\partial F}{\partial z} \;=\; x^3 y^2 + y \;\implies\; d(z) \;=\; \text{const.} $}$
    Wir können also $ \mbox{$d(z)=0$}$ wählen und erhalten als eine Stammfunktion
    $ \mbox{$\displaystyle F(x,y,z) \;=\; x^3y^2z+x+yz\; . $}$
    Diese ist nur bis auf eine additive Konstante bestimmt.

    Nach dem ersten Hauptsatz für Kurvenintegrale wird nun

    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \int_\gamma f &=& F(\gamma(\pi))-F(\g... ...)-F(1,1,1)\vspace{3mm}\\ &=& e^{3\pi}(\pi^2+1)+e^\pi-\pi^2-4\;. \end{array}$}$