Lösung.

  1. Es wird
    $ \mbox{$\displaystyle \ell(\gamma) \;=\; \int_0^1 \left\Vert\dot{\gamma}(t)\ri... ...2)\;\text{d}t \;=\; \left[t+\frac{2}{3}\;t^3\right]_0^1 \;=\; \frac{5}{3}\;. $}$

    Skizze.

    \includegraphics[width = 8cm]{l1-1.eps}

  2. Es wird
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \ell(\gamma) &=& \displaystyle\int_0^... ...\left[-2\cos\frac{t}{2}\right]_0^{2\pi}\vspace*{2mm}\\ &=& 8\;. \end{array}$}$
    Dabei haben wir folgende Identität verwendet.
    $ \mbox{$\displaystyle 1-\cos t \;=\; 1-\cos\left(\frac{t}{2}+\frac{t}{2}\right... ...eft(\sin\frac{t}{2}\right)^2\right) \;=\; 2\left(\sin\frac{t}{2}\right)^2\;. $}$

    Skizze.

    \includegraphics[width = 8cm]{l1-2.eps}

  3. Es wird
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \ell(\gamma) &=& \displaystyle\int_0^... ...{r^2+h^2}\;\text{d}t\vspace*{2mm}\\ &=& 2\pi n\sqrt{r^2+h^2}\;. \end{array}$}$

    Skizze für $ \mbox{$n=2$}$ , $ \mbox{$r=1$}$ und $ \mbox{$h=1$}$ .

    \includegraphics[width = 8cm]{l1-3.eps}