Beispiel.

Sei $ \mbox{$F(x,y) := (x^2 + y^2)^{-1/2} + x$}$ eine Funktion auf $ \mbox{$\mathbb{R}^3\setminus\{ 0\}$}$ , und sei $ \mbox{$f = \nabla F$}$ das zugehörige konservative Vektorfeld.

Berechne jeweils $ \mbox{$\int_\gamma f$}$ direkt. Die Stammfunktion liefert natürlich in beiden Fällen den Wert $ \mbox{$F(0,1) - F(1,0) = -1$}$ .

1.
$ \mbox{$\gamma(t) := (1,t)^\text{t}$}$ für $ \mbox{$t\in [0,1]$}$ und $ \mbox{$\gamma(t) := (2-t,1)^\text{t}$}$ für $ \mbox{$t\in [1,2]$}$ .
2.
$ \mbox{$\gamma(t) := (\cos t,\sin t)$}$ für $ \mbox{$t\in [0,\pi/2]$}$ .