Beispiel.

Sei $ \mbox{$f:\mathbb{R}^2\setminus\{0\}\to\mathbb{R}^2$}$ definiert durch $ \mbox{$f(x,y):=\left(\dfrac{-y}{x^2+y^2},\dfrac{x}{x^2+y^2}\right)^\text{t}$}$ . Sei ferner $ \mbox{$\gamma:[0,2\pi]\to\mathbb{R}^2$}$ definiert durch $ \mbox{$\gamma(t):=(\cos t,\sin t)^\text{t}$}$ .

  1. Berechne das Kurvenintegral von $ \mbox{$f$}$ längs $ \mbox{$\gamma$}$ .
  2. Erfüllt $ \mbox{$f$}$ die Integrabilitätsbedingungen auf $ \mbox{$\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$}$ ?
  3. Ist das Vektorfeld $ \mbox{$f$}$ konservativ?