Beispiel.

Berechne jeweils das Kurvenintegral von $ \mbox{$f$}$ längs $ \mbox{$\gamma$}$ . Ist das Vektorfeld $ \mbox{$f$}$ konservativ? Berechne gegebenenfalls eine Stammfunktion von $ \mbox{$f$}$ .

  1. $ \mbox{$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$}$ , $ \mbox{$f(x,y)=(y,y-x)^\text{t}$}$ , $ \mbox{$\gamma:[0,2]\to\mathbb{R}^2$}$ , $ \mbox{$\gamma(t)=(t,t^2)^\text{t}$}$ .
  2. $ \mbox{$f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$}$ , $ \mbox{$f(x,y,z)=(3x^2y^2z+1,\; 2x^3yz+z,\; x^3y^2+y)^\text{t}$}$ , $ \mbox{$\gamma:[0,\pi]\to\mathbb{R}^3$}$ , $ \mbox{$\gamma(t) = (e^t,\; \cos t,\; t^2+1)^\text{t}$}$ .