Beispiel.

Berechne jeweils die Länge der Kurve $ \mbox{$\gamma$}$ .

  1. $ \mbox{$\gamma:[0,1]\to\mathbb{R}^3$}$ , $ \mbox{$\gamma(t)=(t,t^2,\frac{2}{3}\;t^3)^\text{t}$}$ .
  2. $ \mbox{$\gamma:[0,2\pi]\to\mathbb{R}^2$}$ , $ \mbox{$\gamma(t)=(t-\sin t,1-\cos t)^\text{t}$}$ (Zykloide).
  3. $ \mbox{$\gamma:[0,2\pi n]\to\mathbb{R}^3$}$ , $ \mbox{$\gamma(t)=(r\cos t,r\sin t,ht)^\text{t}$}$ , wobei $ \mbox{$n\ge 1$}$ und $ \mbox{$h,\, r\in\mathbb{R}_{> 0}$}$ (Schraubenlinie mit $ \mbox{$n$}$ Umdrehungen, Radius $ \mbox{$r$}$ und Steigung $ \mbox{$h$}$ ).