Lösung.

Schreibe $ \mbox{$\mathbb{R}_+ := \{x\in\mathbb{R} \; :\; x > 0\}$}$ .

  1. Sei
    $ \mbox{$\displaystyle f:\mathbb{R}\times\mathbb{R}_+\times\mathbb{R}_+\to\math... ...,y,z)\;:=\; \begin{pmatrix}e^{y-z}-y-x\sqrt{z}\\ y^z-z^{xy}\end{pmatrix}\;. $}$
    Es wird
    $ \mbox{$\displaystyle \renewedcommand{arraystretch}{1.5}f'(x,y,z)\;=\; \left(\... ... & zy^{z-1}-x(\log z)z^{xy} & (\log y)y^z-(xy)z^{xy-1} \end{array}\right)\;. $}$
    Speziell wird
    $ \mbox{$\displaystyle f'(0,1,1)\;=\; \left(\begin{array}{rrr} -1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)\;. $}$
    Also ist
    $ \mbox{$\displaystyle \det f_{(y,z)^\text{t}}(0,1,1) \;=\; \det\left(\begin{array}{rr} 0&-1\\ 1&0\end{array}\right) \;=\; 1 \;\ne\; 0\;. $}$
    Nach dem Satz über implizite Funktionen läßt sich das Gleichungssystem $ \mbox{$f(x,y,z)=0$}$ lokal um den Punkt $ \mbox{$(0,1,1)^\text{t}$}$ nach $ \mbox{$(y,z)^\text{t}$}$ auflösen. Also gibt es Umgebungen $ \mbox{$U\subseteq\mathbb{R}$}$ von $ \mbox{$0$}$ und $ \mbox{$V\subseteq\mathbb{R}_+\times\mathbb{R}_+$}$ von $ \mbox{$(1,1)^\text{t}$}$ sowie genau eine Funktion $ \mbox{$g:U\to V$}$ , $ \mbox{$g(x)=(y(x),z(x))^\text{t}$}$ so, daß
  2. Für $ \mbox{$x\in U$}$ erhalten wir
    $ \mbox{$\displaystyle g'(x) \;=\; - f_{(y,z)^\text{t}}(x,y(x),z(x))^{-1} f_x(x,y(x),z(x)) \; , $}$
    also für $ \mbox{$x = 0$}$
    $ \mbox{$\displaystyle g'(0) \;=\; \begin{pmatrix}y'(0) \\ z'(0)\end{pmatrix} ... ...m{-}0\end{pmatrix} \;=\; \begin{pmatrix}\phantom{-}0 \\ -1\end{pmatrix}\; . $}$