Sei
definiert durch
. Dann ist
stetig differenzierbar, und es folgt
Speziell ist
Nach dem Satz über implizite Funktionen ist daher die Gleichung
lokal um den Punkt
nach
auflösbar.
2.
Nach 1. gibt es also Umgebungen
von
und
von
sowie (genau)
eine stetig differenzierbare Funktion
so, daß
,
für alle
,
für alle
und
.
Mit der Bezeichnung
wird
Speziell ist
zweimal stetig differenzierbar - beachte, daß
für
nicht verschwindet.
Insbesondere wird
wegen
dort.
Eine weitere Anwendung der Kettenregel ergibt
Analog erhält man
Setzt man speziell den Punkt
ein, so erhält man
Insgesamt ergibt sich
und diese Matrix hat Signatur
, da sie einen positiven und einen negativen Eigenwert besitzt, wie uns z.B. der beidseitige Gaußalgorithmus
liefert. Also liegt hat
bei
einen Sattelpunkt.
3.
Obiges liefert unter anderem
Hier eine Skizze der Lösungsmenge von
. Man erkennt einen Sattelpunkt bei
.