Implizite Funktionen.

Begriff.

Seien $ \mbox{$m,\, n\,\ge\, 1$}$ , und seien $ \mbox{$U\subseteq\mathbb{R}^n$}$ , $ \mbox{$V\subseteq\mathbb{R}^m$}$ und $ \mbox{$f:U\times V\to\mathbb{R}^m$}$ gegeben. Sei ferner $ \mbox{$(x_0,y_0)^\text{t}\in U\times V$}$ , bestehend aus inneren Punkten $ \mbox{$x_0\in U$}$ und $ \mbox{$y_0\in V$}$ , derart gegeben, daß $ \mbox{$f(x_0,y_0)=0$}$ .

Wir sagen, die Gleichung $ \mbox{$f(x,y)=0$}$ , $ \mbox{$x\in U$}$ , $ \mbox{$y\in V$}$ , ist um den Punkt $ \mbox{$(x_0,y_0)^\text{t}$}$ lokal eindeutig nach $ \mbox{$y$}$ auflösbar, falls es Umgebungen $ \mbox{$U_0\subseteq U$}$ von $ \mbox{$x_0$}$ und $ \mbox{$V_0\subseteq V$}$ von $ \mbox{$y_0$}$ so gibt, daß es zu jedem $ \mbox{$x\in U_0$}$ genau ein $ \mbox{$y\in V_0$}$ gibt mit $ \mbox{$f(x,y)=0$}$ . Dadurch wird genau eine Funktion $ \mbox{$g:U_0\to V_0$}$ definiert, welche $ \mbox{$f(x,g(x))=0$}$ erfüllt für alle $ \mbox{$x\in U_0$}$ . Man sagt, die Funktion $ \mbox{$y=g(x)$}$ ist implizit definiert durch die Gleichung $ \mbox{$f(x,y)=0$}$ .

Existenz der implizit definierten Funktion.

Es seien nun zusätzlich $ \mbox{$U$}$ und $ \mbox{$V$}$ offen, und $ \mbox{$f:U\times V\to\mathbb{R}^m$}$ einmal stetig differenzierbar. Wir schreiben $ \mbox{$(x,y)^\text{t} =: (x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_m)^\text{t} \in U\times V$}$ und

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} f_x &:=& \begin{pmatrix}\frac{\parti... ..._1} & \ldots & \frac{\partial f_m}{\partial y_m} \end{pmatrix}\;. \end{array}$}$

Der Satz über implizite Funktionen besagt nun, daß aus $ \mbox{$\det f_y(x_0,y_0)\ne 0$}$ folgt, daß die Gleichung $ \mbox{$f(x,y)=0$}$ um den Punkt $ \mbox{$(x_0,y_0)^\text{t}$}$ lokal eindeutig nach $ \mbox{$y$}$ auflösbar ist.

Es gibt dann eine Umgebung $ \mbox{$x_0\in U_0\subseteq U$}$ so, daß für die implizit definierte Funktion $ \mbox{$g:U_0\to V_0$}$ folgendes zutrifft.

Man kann $ \mbox{$g'$}$ auf dieser Umgebung $ \mbox{$U_0$}$ wie folgt mit Hilfe der Kettenregel gewinnen.
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} 0 &=& (f(x,g(x)))' \vspace*{2mm}\\ ... ...pmatrix} \vspace*{2mm}\\ &=& f_x(x,g(x)) + f_y(x,g(x)) g'(x)\;, \end{array}$}$
und also
$ \mbox{$\displaystyle g'(x) \;=\; - f_y(x,g(x))^{-1} f_x(x,g(x)) \; \in\; \mathbb{R}^{m\times n}\; . $}$