Aufgabe.

1.
Zeige, daß die Gleichung $ \mbox{$x_1 x_2+(1+x_2)y + y^3 = 0$}$ lokal um den Punkt $ \mbox{$(x_1,x_2,y)^\text{t}=(0,0,0)^\text{t}$}$ nach $ \mbox{$y$}$ aufgelöst werden kann.
2.
Sei $ \mbox{$g$}$ die durch 1. implizit definierte Funktion. Zeige, daß $ \mbox{$g$}$ zweimal stetig differenzierbar ist. Bestimmte $ \mbox{$g'(0,0)$}$ sowie die Hessematrix $ \mbox{$\text{H}_g(0,0)$}$ und ihre Signatur.
3.
Zeige, daß $ \mbox{$g$}$ der partiellen Differentialgleichung $ \mbox{$(1+6gg_{x_2})g_{x_1}+(1+x_2+3g^2)g_{x_1x_2}=0$}$ genügt.