Aufgabe.

Es sei $ \mbox{$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$}$ definiert durch $ \mbox{$f(x,y):=\cos(x^2)+2xy+\sin(y^2)-4x-1+y$}$ .

Zeige, daß die Gleichung $ \mbox{$f(x,y)=0$}$ um den Punkt $ \mbox{$(0,0)^\text{t}$}$ lokal eindeutig nach $ \mbox{$y$}$ auflösbar ist.

Es sei $ \mbox{$g$}$ die dadurch implizit definierte Funktion. Zeige, daß $ \mbox{$g$}$ in einer Umgebung von $ \mbox{$0$}$ zweimal stetig differenzierbar ist und berechne $ \mbox{$g'(0)$}$ und $ \mbox{$g''(0)$}$ .