Lösung.

1.
Es sei
$ \mbox{$\displaystyle f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2,\; f(x,y,z) \;:=\; \begin{pmatrix}x-\cos y\\ \sin y-e^z\end{pmatrix}\;. $}$
Es wird
$ \mbox{$\displaystyle f'(x,y,z) \;=\; \left(\begin{array}{rrr} 1 & \sin y & 0\\ 0 & \cos y & -e^z\end{array}\right)\;. $}$
Speziell ergibt sich
$ \mbox{$\displaystyle f'(0,\frac{\pi}{2},0) \;=\; \left(\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)\;. $}$
Also ist
$ \mbox{$\displaystyle \det f_{(y,z)^\text{t}}(1,1,1) \;=\; \det\left(\begin{array}{rr} 1 & 0\\ 0 & -1\end{array}\right) \;=\; -1 \;\ne\; 0\;. $}$
Nach dem Satz über implizite Funktionen läßt sich das Gleichungssystem $ \mbox{$f(x,y,z)=0$}$ lokal um den Punkt $ \mbox{$(0,\frac{\pi}{2},0)^\text{t}$}$ nach $ \mbox{$(y,z)^\text{t}$}$ auflösen.
2.
Nach 1. gibt es also Umgebungen $ \mbox{$U\subseteq\mathbb{R}$}$ von $ \mbox{$0$}$ und $ \mbox{$V\subseteq\mathbb{R}^2$}$ von $ \mbox{$(\frac{\pi}{2},0)^\text{t}$}$ sowie genau eine stetig differenzierbare Funktion $ \mbox{$g:U\to V$}$ , $ \mbox{$g(x)=(y(x),z(x))^\text{t}$}$ so, daß

Es wird

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} g'(x) & = & \begin{pmatrix}y' \\ z'... ...pmatrix}-(\sin y)^{-1}\\ - e^{-z}(\cot y)\end{pmatrix} \; . \\ \end{array}$}$

Speziell wird

$ \mbox{$\displaystyle \begin{pmatrix}y'(0)\\ z'(0)\end{pmatrix}\;=\; \left(\begin{array}{r} -1\\ 0\end{array}\right)\;. $}$