Lösung.

Es wird

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} f_x(x,y) &=& 2y+e^{x-y-1} \vspace*{2mm}\\ f_y(x,y) &=& 2x+3y^2-e^{x-y-1}\;. \end{array}$}$
Also ist $ \mbox{$f$}$ stetig differenzierbar, $ \mbox{$f(1,0)=0$}$ und $ \mbox{$\det f_y(1,0)=1\ne 0$}$ . Nach dem Satz über implizite Funktionen ist die Gleichung $ \mbox{$f(x,y)=0$}$ um den Punkt $ \mbox{$(1,0)$}$ lokal eindeutig nach $ \mbox{$y$}$ auflösbar. Also gibt es Umgebungen $ \mbox{$U_0\subseteq\mathbb{R}$}$ von $ \mbox{$1$}$ und $ \mbox{$V_0\subseteq\mathbb{R}$}$ von $ \mbox{$0$}$ sowie genau eine (implizit definierte) stetig differenzierbare Funktion $ \mbox{$g:U_0\to V_0$}$ so, daß

Als Ableitung von $ \mbox{$g$}$ in $ \mbox{$1$}$ ergibt sich

$ \mbox{$\displaystyle g'(1) \;=\; -f_y(1,0)^{-1} f_x(1,0) \;=\; -1 \; . $}$

Über die Größe von $ \mbox{$U_0$}$ und $ \mbox{$V_0$}$ können wir keine Aussage machen. Jedenfalls können wir nicht beide beliebig groß wählen, wie untenstehende Skizze, in der die Lösungsmenge der Gleichung $ \mbox{$f(x,y)=0$}$ dargestellt wird, zeigt. In anderen Worten, eine globale Auflösung der Gleichung $ \mbox{$f(x,y)=0$}$ ist nicht möglich.

\includegraphics[width = 8cm]{l1.eps}