Beispiel.

1.
Zeige, daß das Gleichungssystem
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} x &=& \cos y\vspace*{2mm}\\ \sin y &=& e^z \end{array}$}$
lokal um den Punkt $ \mbox{$(x,y,z)^\text{t}=(0,\frac{\pi}{2},0)^\text{t}$}$ nach $ \mbox{$(y,z)$}$ auflösbar ist.
2.
Sei $ \mbox{$g(x)=(y(x),z(x))^\text{t}$}$ die in 1. implizit definierte Funktion. Zeige, daß die Funktionen $ \mbox{$y$}$ und $ \mbox{$z$}$ die Differentialgleichungen
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} y' &=& -1/\sin y\vspace*{2mm}\\ z' &=& -(\cot y)e^{-z} \\ \end{array}$}$
erfüllen und berechne $ \mbox{$y'(0)$}$ und $ \mbox{$z'(0)$}$ .