Setze . Die Funktionen , und sind beliebig oft stetig differenzierbar.
Sei
Die Ableitung von berechnet sich zu
Für den Fall, daß und , vereinfachen sich die Gleichungen (I) und (II) zu
Falls , so ist wegen (IV) zunächst , und wegen (V) ist . Gleichung (II) kann nun noch mit erfüllt werden. Wir erhalten die kritischen Punkte , mit , und , mit .
Falls , so ist wegen (IV) , und wegen (V) ist . Gleichung (I) kann nun noch mit erfüllt werden. Wir erhalten die kritischen Punkte und , bei welchen ist.
Es ist
Untersuchen wir nun unsere kritischen Punkte auf lokale Extrema vermittels der relativen Hessematrix. Halten wir zunächst fest, daß sich für und beliebig
Im folgenden fassen wir Vorzeichen zusammen, falls sich dies anbietet.
Im kritischen Punkt ist
Da die relative Hessematrix infolgedessen positiv definit ist, liegt für beide Wahlen des Vorzeichens ein lokales Minimum unter Nebenbedingung vor.
Im kritischen Punkt ist
Im kritischen Punkt ist
Die Menge ist wegen der Gestalt von beschränkt, wegen der Stetigkeit von abgeschlossen, und also insgesamt kompakt. Da ferner stetig ist, nimmt ein globales Maximum und ein globales Minimum auf an. Unbeschadet unserer nur hinreichenden Bedingung mit der relativen Hessematrix müssen beide unter den sechs regulären kritischen Punkten auftauchen, da auf ganz den Rang hat.
Durch Vergleichen der Funktionswerte bei den kritischen Punkten
Da die globale Minimalstelle auch als lokale Minimalstelle, und die globale Maximalstelle auch als lokale Maximalstelle erkannt wurde, jeweils unter Nebenbedingung , ist auch kein Widerspruch eingetreten.
Abschließend bemerken wir, daß wir ohne relative Hessematrix, nur unter Betrachtung der Funktionswerte bei den kritischen Punkten, den Punkt nicht als lokale Maximalstelle unter Nebenbedingung hätten erkennen können. Diese Argumentationsnot verschärft sich noch in Fällen, in denen nicht kompakt ist, man also nicht allein durch Betrachten der Werte an den kritischen Punkten die globalen Extrema erkennen kann.