Lösung.

Es ist

$ \mbox{$\displaystyle f(x)\;=\;\sum_{\nu=1}^k{m_\nu \Vert x-x_\nu\Vert^2}\;=\;\sum_{\nu=1}^k{m_\nu(x-x_\nu)^\text{t} (x-x_\nu)}\; , $}$
und demzufolge
$ \mbox{$\displaystyle f'(x)\;=\;\sum_{\nu=1}^k{m_\nu\cdot 2(x-x_\nu)^\text{t}}\; . $}$
Ferner berechnen wir
$ \mbox{$\displaystyle \text{H}_f(x)\;=\;2\sum_{\nu=1}^k{m_\nu}\cdot \text{E}_n\; . $}$
Aus der notwendigen Bedingung erhalten wir
$ \mbox{$\displaystyle f'(x)=0 \;\iff\; \left(\sum_{\nu=1}^k{m_\nu}\right)x=\sum_{\nu=1}^k{m_\nu x_\nu} $}$
und erhalten als einzigen kritischen Punkt
$ \mbox{$\displaystyle x^\star\;=\;\frac{1}{\sum_{\mu=1}^k{m_\mu}}\sum_{\nu=1}^k{m_\nu x_\nu}\; . $}$
Die Hessematrix ist als Diagonalmatrix mit positiven Diagonaleinträgen positiv definit für alle $ \mbox{$x\in\mathbb{R}^n$}$ , so daß wir aus dem Satz von Taylor ein $ \mbox{$\xi\in\overline{x,x^\star}$}$ mit
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} f(x) & = & f(x^\star)+\underbrace{f'(... ...t}\text{H}_f(\xi)(x-x^\star)\vspace*{2mm}\\ & \geq & f(x^\star) \end{array}$}$
erhalten. Gleichheit tritt genau dann ein, wenn $ \mbox{$x=x^\star$}$ ist.

Dies zeigt, daß $ \mbox{$f$}$ bei $ \mbox{$x^\star$}$ ein globales Minimum annimmt.

Bemerkung. Interpretiert man die Größen $ \mbox{$m_\nu$}$ als Massen von Massenpunkten an den Orten $ \mbox{$x_\nu$}$ , so befindet sich das globale Minimum in deren Schwerpunkt $ \mbox{$x^\star$}$ .