Es ist die Jacobimatrix
und damit die Hessematrix
Insbesondere ist
auf ganz
zweimal stetig differenzierbar.
Die kritischen Punkte ermitteln sich aus
, d.h. aus dem Gleichungssystem
Daraus ersehen wir, daß zum einen
für ein
zu sein hat, und daß zum anderen
und
sind. Die Menge der kritischen Punkte ist also gegeben durch
Ist
gerade, so ist
, und folglich
Diese Matrix ist indefinit, da sie Diagonaleinträge unterschiedlichen Vorzeichens aufweist.
Alternativ kann man die Matrix auch durch beidseitige Gaußumformungen zu
umformen, und erkennt auch so, daß eine
indefinite Matrix vorliegt.
Folglich besitzt
einen Sattelpunkt an den Stellen
für gerades
.
Ist
ungerade, so ist
, und folglich
Mittels beidseitigem Gaußalgorithmus kann man diese Matrix umformen zu
. Also ist sie negativ definit,
und somit besitzt
ein lokales Maximum an den Stellen
für ungerades
.