Lösung.

Es ist die Jacobimatrix

$ \mbox{$\displaystyle
f'(x,y,z) \; = \; \begin{pmatrix}
\sin x, & -2 y + 4 z, & 4y -10 z + 6
\end{pmatrix} \; ,
$}$
und damit die Hessematrix
$ \mbox{$\displaystyle
\text{H}_f(x,y,z) \; = \;
\begin{pmatrix}
\cos x & 0 & 0\\
0 & -2 & 4\\
0 & 4 & -10
\end{pmatrix} \; .
$}$
Insbesondere ist $ \mbox{$f$}$ auf ganz $ \mbox{$\mathbb{R}^3$}$ zweimal stetig differenzierbar.

Die kritischen Punkte ermitteln sich aus $ \mbox{$f'(x,y,z) = 0$}$ , d.h. aus dem Gleichungssystem

$ \mbox{$\displaystyle
\begin{array}{rcl}
\sin x & = & 0 \\
-2 y + 4 z & = & 0 \\
4 y - 10 z + 6 & = & 0 \\
\end{array}$}$
Daraus ersehen wir, daß zum einen $ \mbox{$x = k\pi$}$ für ein $ \mbox{$k\in\mathbb{Z}$}$ zu sein hat, und daß zum anderen $ \mbox{$y = 6$}$ und $ \mbox{$z = 3$}$ sind. Die Menge der kritischen Punkte ist also gegeben durch
$ \mbox{$\displaystyle
\left\{\left.
\begin{pmatrix}
k \pi \\  6 \\  3
\end{pmatrix} \; \right\vert k \in \mathbb{Z}\right\}\; .
$}$

Ist $ \mbox{$k\in\mathbb{Z}$}$ gerade, so ist $ \mbox{$\cos(k \pi) = 1$}$ , und folglich

$ \mbox{$\displaystyle
\text{H}_f(k \pi, 6, 3) =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & -2 & 4\\
0 & 4 & -10 \\
\end{pmatrix} \; .
$}$
Diese Matrix ist indefinit, da sie Diagonaleinträge unterschiedlichen Vorzeichens aufweist.

Alternativ kann man die Matrix auch durch beidseitige Gaußumformungen zu $ \mbox{$\left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\  0&-2&0\\  0&0&-2\end{array}\right)$}$ umformen, und erkennt auch so, daß eine indefinite Matrix vorliegt.

Folglich besitzt $ \mbox{$f$}$ einen Sattelpunkt an den Stellen $ \mbox{$(k \pi, 6, 3)^\text{t}$}$ für gerades $ \mbox{$k\in\mathbb{Z}$}$ .

Ist $ \mbox{$k\in\mathbb{Z}$}$ ungerade, so ist $ \mbox{$\cos(k \pi) = -1$}$ , und folglich

$ \mbox{$\displaystyle
\text{H}_f(k \pi, 6, 3) =
\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0\\
0 & -2 & 4\\
0 & 4 & -10
\end{pmatrix}.\;
$}$
Mittels beidseitigem Gaußalgorithmus kann man diese Matrix umformen zu $ \mbox{$\left(\begin{array}{rrr}-1&0&0\\  0&-2&0\\  0&0&-2\end{array}\right)$}$ . Also ist sie negativ definit, und somit besitzt $ \mbox{$f$}$ ein lokales Maximum an den Stellen $ \mbox{$(k \pi, 6, 3)^\text{t}$}$ für ungerades $ \mbox{$k\in\mathbb{Z}$}$ .