Aufgabe.

Sei $ \mbox{$f(x,y,z,w) := x^2 + y^2 + z^2 + w^2$}$ , und sei $ \mbox{$g(x,y,z,w) = \begin{pmatrix}xyz - 1 \\ yzw - 1\end{pmatrix}$}$ , beides definiert auf $ \mbox{$P := \{ (x,y,z,w)^\text{t}\in\mathbb{R}^4\; \vert\; x > 0,\; y > 0,\; z > 0,\; w > 0\}$}$ .

1.
Bestimme die lokalen Extrema von $ \mbox{$f$}$ unter der Nebenbedingung $ \mbox{$g = 0$}$ vermittels der Lagrangeschen Multiplikatorenmethode.
2.
Bestimme die lokalen Extrema von $ \mbox{$f$}$ unter der Nebenbedingung $ \mbox{$g = 0$}$ , indem zunächst in $ \mbox{$f$}$ die von der Bedingung $ \mbox{$g = 0$}$ herrührenden Substitutionen $ \mbox{$x = w = (yz)^{-1}$}$ vorgenommen werden, und die resultierende Funktion in Abhängigkeit von den Variablen $ \mbox{$y$}$ und $ \mbox{$z$}$ auf lokale Extrema untersucht wird.