Lösung.

Wir setzen $ \mbox{$g:M \to \mathbb{R}, \; (x_1, \ldots, x_n)^\text{t} \mapsto x_1^2 + \cdots + x_n^2 -1$}$ . Da $ \mbox{$M\subseteq\mathbb{R}^n$}$ offen ist und $ \mbox{$f$}$ und $ \mbox{$g$}$ beliebig oft stetig differenzierbar sind, untersuchen wir mittels der Multiplikatorenregel von Lagrange auf lokale Extrema von $ \mbox{$f$}$ unter der Nebenbedingung $ \mbox{$g=0$}$ .

Notwendige Bedingung.

Betrachte die Funktion

$ \mbox{$\displaystyle F\; :\; \mathbb{R}^n \;\to\; \mathbb{R}\; , \;\;\; (x_1,... ...x_n) \;=\; x_1^2 \cdots x_n^2 - \lambda ( x_1^2 + \cdots + x_n^2 - 1 ) \; . $}$
Es ist
$ \mbox{$\displaystyle F'(x) = \begin{pmatrix} \; 2 x_1 x_2^2 \cdots x_n^2 ... ...s\; , & 2 x_n x_1^2 \cdots x_{n-1}^2 - 2 \lambda x_n\; \end{pmatrix}\; . $}$

Wäre $ \mbox{$x_k = 0$}$ für ein $ \mbox{$k\in \{ 1, \ldots, n\}$}$ , so hätten wir $ \mbox{$f(x) = 0$}$ , und also $ \mbox{$x\not\in M$}$ , was uns gemäß Aufgabenstellung nicht interessiert.

Aus der notwendigen Bedingung für Extrema von $ \mbox{$F$}$ erhalten wir die Gleichungen

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} x_2^2 x_3^2 \cdots x_n^2 & = & \lam... ...dots &\\ x_1^2 x_2^2 \cdots x_{n-1}^2 & = & \lambda \; . \\ \end{array}$}$

Folglich sind die linken Seiten alle gleich. Kürzen von Faktoren beim Gleichsetzen je zweier dieser linken Seiten liefert $ \mbox{$x_1^2 = \cdots = x_n^2$}$ .

Mit der Nebenbedingung $ \mbox{$g=0$}$ ergibt sich damit $ \mbox{$x_1^2 + \cdots + x_n^2 = n x_1^2 = 1$}$ , und also $ \mbox{$x_1^2 = \cdots = x_n^2 = \dfrac{1}{n}$}$ .

Insgesamt sind die $ \mbox{$2^n$}$ Punkte $ \mbox{$(\varepsilon _1 n^{-1/2}, \ldots, \varepsilon _n n^{-1/2})^\text{t}$}$ , mit $ \mbox{$\varepsilon _k\in\{ -1, +1\}$}$ für alle $ \mbox{$1\le k\le n$}$ , kritische Punkte, und wegen $ \mbox{$g'(x) = \begin{pmatrix}\; 2x_1\;, & \cdots\; , & 2x_n\; \end{pmatrix}$}$ auch allesamt regulär - $ \mbox{$g'$}$ hat an diesen Stellen Rang $ \mbox{$1$}$ .

Hinreichende Bedingung.

Wie in der Aufgabenstellung erwähnt, genügt die Untersuchung von $ \mbox{$x_0 := (n^{-1/2},\dots,n^{-1/2})$}$ . Wir behaupten, daß an dieser Stelle, und damit an allen regulären kritischen Punkten, ein lokales Maximum unter Nebenbedingung $ \mbox{$g=0$}$ vorliegt. Halten wir fest, daß dort $ \mbox{$\lambda = n^{1-n}$}$ ist.

Wir berechnen die relative Hessematrix $ \mbox{$\text{H}_{f;g}(x_0)$}$ .

Zunächst ist

$ \mbox{$\displaystyle \text{H}_{F}(x_0) \;=\; 2 n^{1-n} \left[ \begin{array}{c... ...&\cdots & 1 & 0 \\ \end{array}\right] \; \in\; \mathbb{R}^{n\times n}\; . $}$
Wegen $ \mbox{$g'(x_0) = 2n^{-1/2}(\, 1\, ,\; 1\, , \;\dots\; ,\; 1\, )$}$ können wir
$ \mbox{$\displaystyle \text{T}_g(x_0) \;=\;\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 &... ...dots &\cdots & -1 \\ \end{array}\right] \;\in\; \mathbb{R}^{n\times (n-1)} $}$
wählen und erhalten
$ \mbox{$\displaystyle \text{H}_{f;g}(x_0) \;=\; \text{T}_g(x_0)^\text{t}\,\tex... ...s & 1 & 2 \\ \end{array}\right]\; \in\; \mathbb{R}^{(n-1)\times (n-1)}\; . $}$
Die Eigenwerte von $ \mbox{$\text{H}_{f;g}(x_0)$}$ sind $ \mbox{$- 4 n^{1-n}\cdot 1$}$ (mit Multiplizität $ \mbox{$n-2$}$ ) und $ \mbox{$- 4 n^{1-n}\cdot n$}$ (mit Multiplizität $ \mbox{$1$}$ ). Folglich ist $ \mbox{$\text{H}_{f;g}(x_0)$}$ negativ definit, und es liegt bei $ \mbox{$x_0$}$ in der Tat ein lokales Maximum unter Nebenbedingung $ \mbox{$g=0$}$ vor.

Der Maximalwert beträgt dort $ \mbox{$f(x_0) = n^{-n}$}$ .

Skizze des Graphen von $ \mbox{$f\vert _{V(g)}$}$ im Falle $ \mbox{$n = 2$}$ .

\includegraphics[width = 8cm]{l3.eps}