Wir setzen
. Da
offen ist und
und
beliebig oft stetig
differenzierbar sind, untersuchen wir mittels der Multiplikatorenregel von Lagrange auf lokale Extrema von
unter der Nebenbedingung
.
Notwendige Bedingung.
Betrachte die Funktion
Wäre
für ein
, so hätten wir
, und also
, was uns gemäß Aufgabenstellung nicht interessiert.
Aus der notwendigen Bedingung für Extrema von
erhalten wir die Gleichungen
Folglich sind die linken Seiten alle gleich. Kürzen von Faktoren beim Gleichsetzen je zweier dieser linken Seiten liefert
.
Mit der Nebenbedingung
ergibt sich damit
, und also
.
Insgesamt sind die
Punkte
, mit
für alle
, kritische
Punkte, und wegen
auch allesamt regulär -
hat an diesen Stellen
Rang
.
Hinreichende Bedingung.
Wie in der Aufgabenstellung erwähnt, genügt die Untersuchung von
. Wir behaupten, daß an dieser Stelle, und
damit an allen regulären kritischen Punkten, ein lokales Maximum unter Nebenbedingung
vorliegt. Halten wir fest, daß dort
ist.
Wir berechnen die relative Hessematrix
.
Zunächst ist
Der Maximalwert beträgt dort
.
Skizze des Graphen von
im Falle
.