Sei
, und sei
, jeweils auf ganz
. Bestimme die lokalen Extrema von
unter Nebenbedingung
.
Notwendige Bedingung. Wir ermitteln die regulären kritischen Punkte. Mit
ist
. Zu lösen ist folglich das Gleichungssystem
Im Falle
erhalten wir aus der ersten Gleichung des Gleichungssystems, daß
, und folglich aus der zweiten Gleichung, daß
, und schließlich
aus der Nebenbedingung
, daß
. Dies liefert die kritischen Punkte
und
, die in der Tat
regulär sind, da dort
gilt, und also der Rang von
gleich
ist. An diesen beiden Punkten ist
.
Hinreichende Bedingung. Bestimmen wir zunächst für beliebiges
die Hessematrix
Im Punkt
ist
und
. Also wird z.B.
, und folglich
Im Punkt
ist
und
. Also wird z.B.
, und folglich
Im Punkt
ist
und
. Also wird z.B.
,
und folglich
Im Punkt
ist
und
. Also wird z.B.
,
und folglich
Als Probe kann man anführen, daß
an den ersten beiden kritischen Punkten je den Wert
annimmt, an den letzten beiden kritischen Punkten
je den Wert
. Da
kompakt ist, müssen sich die beiden globale Extrema unter den lokalen Extrema befinden. Einen Widerspruch hätten wir,
wenn wir nun folgern könnten, daß das globale Minimum größer als das globale Maximum sein müßte - was glücklicherweise nicht der Fall ist.