Lösung.

Es wird

$ \mbox{$\displaystyle f'(x,y) \; = \; e^{y^3-3y}\; \begin{pmatrix} (3 x^2 - 12) \; , & (x^3 -12 x) (3 y^2 - 3) \end{pmatrix}$}$
und
$ \mbox{$\displaystyle \text{H}_f(x,y) \; = \; e^{y^3 - 3 y} \begin{pmatrix}... ...(3 x^2 - 12) (3 y^2 -3) & (x^3 - 12 x) ( (3 y^2 -3)^2 + 6y ) \end{pmatrix}. $}$

Die notwendige Bedingung für lokale Extrema $ \mbox{$\nabla f(x,y)=0$}$ liefert die zu erfüllenden Gleichungen

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} 3x^2 - 12 & = & 0 \\ (x^3 -12 x) (3 y^2 - 3) & = & 0\,. \\ \end{array}$}$
Aus der ersten Gleichung erhalten wir $ \mbox{$x = \pm 2$}$ , und folglich aus der zweiten $ \mbox{$y = \pm 1$}$ . Die kritischen Punkte sind somit gegeben durch
$ \mbox{$\displaystyle (-2,-1)^\text{t}\; , \;\; (-2,1)^\text{t}\; , \;\; (2,-1)^\text{t}\; , \;\; (2,1)^\text{t}\; . $}$

Es ist

$ \mbox{$\displaystyle \text{H}_f(-2,-1) = e^{2} \begin{pmatrix} -12 & 0\\ 0 & -96 \end{pmatrix}$}$
negativ definit, und somit besitzt $ \mbox{$f$}$ ein lokales Maximum in $ \mbox{$(-2,-1)^\text{t}$}$ .

Es ist

$ \mbox{$\displaystyle \text{H}_f(-2,1) = e^{-2} \begin{pmatrix} -12 & 0\\ 0 & 96 \end{pmatrix}$}$
indefinit, und folglich besitzt $ \mbox{$f$}$ einen Sattelpunkt in $ \mbox{$(-2,1)^\text{t}$}$ .

Es ist

$ \mbox{$\displaystyle \text{H}_f(2,-1) = e^{2} \begin{pmatrix} 12 & 0\\ 0 & 96 \end{pmatrix}$}$
positiv definit, und folglich besitzt $ \mbox{$f$}$ ein lokales Minimum in $ \mbox{$(2,-1)^\text{t}$}$ .

Es ist

$ \mbox{$\displaystyle \text{H}_f(2,1) = e^{-2} \begin{pmatrix} 12 & 0\\ 0 & -96 \end{pmatrix}$}$
indefinit, und folglich besitzt $ \mbox{$f$}$ einen Sattelpunkt in $ \mbox{$(2,1)^\text{t}$}$ .

Skizze von $ \mbox{$f$}$ .

\includegraphics[width = 8cm]{l1.eps}