Beispiel.

Sei $ \mbox{$n\ge 2$}$ , und sei $ \mbox{$f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$}$ definiert durch $ \mbox{$f(x_1, \ldots, x_n) := x_1^2 \cdot \ldots \cdot x_n^2$}$ .

Untersuche die Einschränkung von $ \mbox{$f$}$ auf die offene Menge $ \mbox{$M := \{ x\in\mathbb{R}^n\; \vert\; f(x)\ne 0\}$}$ auf lokale Extrema unter der Nebenbedingung $ \mbox{$x_1^2 + \cdots + x_n^2 = 1$}$ .

Beachte ferner, daß aus Symmetriegründen aus jeder lokalen Maximalstelle $ \mbox{$(x_1,\dots,x_n)^\text{t}$}$ die lokalen Maximalstellen $ \mbox{$(\pm x_1,\dots,\pm x_n)^\text{t}$}$ folgen, und genauso für eventuelle Minimalstellen.